Operazioni fondamentali sui numeri complessi

1. In analogia con la somma di due vettori risulta la somma di due numeri complessi.

Per esempio,   se  a= 5 + 3 i  e  b = 3 - 2 i,   si ottiene   a + b = 8 + i .

2.  La differenza di due vettori si può riguardare come la somma del primo e l'opposto del secondo.
Risulta così, per esempio, trasferendo l'operazione nei numeri complessi:

                          a - b = 2 + 5 i

3.  Dati i due numeri complessi
                                      

esprimere, in generale, la loro somma algebrica.

4. Moltiplicare due numeri complessi è meno immediato.

Considerare i due numeri scritti nella forma goniometrica:

e moltiplicarli raggruppando i termini che contengono la i

Trasferendo questo risultato in forma algebrica, se

si ottiene  il numero complesso  a + i b,   con 

            .

Moltiplicando algebricamente i due numeri utilizzando le regole valide per i numeri reali e con la sola considerazione ulteriore
i² = -1,  sorprendentemente si ottiene lo stesso risultato.

Verificare le precedenti affermazioni.

Il prodotto nella forma goniometrica precedente, tenendo presenti le formule di addizione degli archi, si può scrivere più semplicemente:

modo che illustra chiaramente come il prodotto dei due numeri complessi si possa ottenere rapidamente moltiplicandone i moduli e addizionandone gli argomenti.
 

Provare a moltiplicare, nei due modi, i numeri a e b dati inizialmente.