Prerequisiti: Concetto di
derivata
Proprietà e prime regole
della derivazione
Al posto del tempo e dello spazio
possono essere considerate due qualsiasi altre variabili
x ed y per il calcolo della derivata.
La derivata di una funzione y = f(x) si indica con una
qualsiasi delle seguenti notazioni:
l'ultima delle quali risale a Leibniz.
1. Considerate le funzioni 
;
verificate che la derivata
della somma delle due funzioni è uguale alla somma delle due derivate.
2. Verificate, compilando la seguente tabella, se la proprietà
precedente continua a valere nei casi riportati.
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f(x) |
g(x) |
f'(x) |
g'(x) |
f(x)+g(x) |
(f(x)+g(x))' |
f'(x)+g'(x) |
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E' sempre vero che (f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x) ?
3. Considerate le due funzioni di
cui al punto 1, verificate che anche la derivata della differenza delle
funzioni è uguale alla differenza delle derivate.
4. Verificate,
compilando la seguente tabella, se la proprietà precedente continua a valere
nei casi riportati.
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f(x) |
g(x) |
f'(x) |
g'(x) |
f(x)-g(x) |
(f(x)-g(x))' |
f'(x)-g'(x) |
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E' sempre vero che (f(x)-g(x))' = f'(x) - g'(x) ?
Giustificate
la risposta.
5. Considerata la
funzione 
, se la
moltiplicate per la costante 
ottenete la
nuova funzione 
.
Verificate che la derivata di 
è data
dal prodotto della costante per la derivata di 
. in
simboli, 
.
6. Compilate la seguente
tabella:
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k |
f(x) |
f'(x) |
k f(x) |
(k f(x))' |
k f'(x) |
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E' sempre vero che (k f(x))' = k f'(x) ?
Giustificate
la risposta.
7. Considerate le due funzioni 
, 
e il
loro prodotto 
; verificate che la derivata del
prodotto non è uguale al prodotto delle derivate delle due funzioni.
8. Compilate la
seguente tabella e verificate se risulta sempre 
.
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f(x) |
g(x) |
f'(x) |
g'(x) |
f(x)g(x) |
(f(x)g(x))' |
f'(x)g(x) |
f(x)g'(x) |
f'(x)g(x)+
f(x)g'(x) |
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Giustificate
la risposta.
9. La derivata della funzione 
,
con n numero naturale, si
può calcolare rapidamente.
Infatti, risulta
innanzitutto:
per cui si può congetturare la formula
.
La dimostrazione può essere poi fatta
rapidamente per induzione matematica.
10. Utilizzando la regola di derivazione del prodotto e osservando
che
,
brevemente
,
dimostrate che
.
Riportate qualche esempio di applicazione della precedente regola sulla derivata
del rapporto di due funzioni.