Legge di Chebyshev
 

Sia Z una variabile casuale e  µ = E (Z) il valor medio di Z.

Per esempio Z potrebbe assumere  i valori della distanza fra i due punti presi a caso internamente a un cerchio, su 1000 prove,
ma potrebbe anche rappresentare le stature dei residenti in una determinata città, i numeri sulle facce di un dado, o altro ancora.

Consideriamo un intervallo  µ - c,  µ + c,  con c > 0 e indichiamo con i₁, i₂, ...quei valori di Z che cadono nell'intervallo e con e_1, e₂, ... quelli che cadono fuori o agli estremi.

a)   Esprimete la varianza di Z.

b)   Tenendo presente che  per ogni e_i   risulta (e _i- µ )² >= c²  ed eliminando tutti i termini i_i, provate che si arriva alla disuguaglianza (di Chebyshev):

                                                          VAR (Z) >= c²· p(l Z- µ  l >= c)         per ogni  Z  e  per ogni  c > 0

 dove  p(l Z - µ l >= c esprime la probabilità che Z non cada nell'intervallo.