1. Disposizioni
semplici
Osservando che
permutazioni del tipo
R1 B1
B2
R2 R3 ,
R1 B1
B2
R3 R2 conducono alla stessa terna R1 B1
B2,
si puņ anche ottenere il numero 60 dimezzando quello delle permutazioni, ovvero
tramite il rapporto
In generale,
il
numero delle disposizioni
di m elementi a n a n č quindi
anche dato da
Questo numero
si indica generalmente con la notazione
.
2. Combinazioni con ripetizione
Come si puņ
fare per contare rapidamente, per esempio, le combinazioni con ripetizione di
7 elementi a 10 a 10,
vale a dire,
Consideriamo una possibile combinazione di questo tipo, per esempio, con riferimento alle 7 lettere a, b, c, d, e, f, g,
aabccdddfg
e
interpretiamola nel modo seguente:
la lettera a
rappresenta una scatola
con 2 oggetti perfettamente identici (indistinguibili), la lettera
b
un'altra scatola
con un solo oggetto, la
c
una scatola con 2 oggetti, la
d
con 3 oggetti, la
e
vuota, la f
e la
g
entrambe con un oggetto
(tutti gli oggetti sempre indistinguibili).
Possiamo allora indicare questa combinazione con la rappresentazione seguente
◊◊●◊●◊◊●◊◊◊●●◊●◊
dove il simbolo
◊
rappresenta un oggetto e il
simbolo ●
separa le scatole.
Si tratta di contare allora le permutazioni di 16 simboli dei quali 10 uguali
fra loro e i rimanenti 6 pure uguali fra loro
(ma diversi dai precedenti).
Il numero di tali permutazioni si ricava immediatamente dal rapporto:
.
che esprime le
combinazioni semplici
Contare le combinazioni con ripetizione di 7 elementi a 10 a 10 equivale quindi a contare i modi in cui si possono disporre 10 oggetti in 7 scatole (osservate che i simboli ● sono uno in meno del numero degli elementi).
In generale, dunque:
.