La terza legge della probabilità (probabilità composta)

1.  Scriviamo     (a implica b) intendendo che se si verifica l'evento a allora deve verificarsi anche l'evento b.

Consideriamo, per esempio, nel lancio di un dado, i due eventi seguenti:

      a: "Si ottiene il numero 2"
      b: "Si ottiene un numero pari"

Mentre l'implicazione è (sempre) vera, non è vera l'inversa .
In altri termini, è sufficiente che si verifichi a affinché si verifichi b, mentre è necessario, ma non sufficiente, che si verifichi  b affinché si verifichi  a. 

Il fatto che la seconda implicazione non sia sempre vera non ci impedisce di ricercare il valore di probabilità per cui risulta vera: nel caso che si sia verificato l'evento b, l'universo si restringe da sei a tre possibilità, per cui la probabilità che si verifichi anche a è 1/3.

                  1      2      3      4      5      6

Indichiamo con  p(a/b) la probabilità che l'evento a si verifichi nell'ipotesi che si sia già verificato l'evento b (probabilità condizionata di a rispetto a b). 
Nel caso in questione, quindi, p(a/b) = 1/3.

Osservate che   p(b/a) = 1.

Calcolate   p(a),   p(b)   e   p(aÙ b).

2. Un esperimento consiste nel lancio di una moneta e nell'estrazione di una carta da gioco da un mazzo di 52.
Considerate gli eventi:

      a: "La moneta presenta testa"
      b: "La carta è di cuori"

Calcolate   p(a),  p(b),  p(a/b),  p(b/a),  p(a Ù b).

3.  In un sacchetto I ci sono 2 palline rosse e 1 blu, mentre in un sacchetto II ci sono 2 palline rosse e 2 blu.
Nell'estrazione di una pallina da ciascun sacchetto, considerate gli eventi:

      a: "Una e una sola delle due palline è rossa"
      b: "La pallina estratta dal sacchetto II è rossa"

Calcolate ancora p(aa),  p(b),  p(a/b),  p(b/a),  p(a Ù b).
p(aÙ b) è uguale a  p(b Ù a) ?

4.  Nel lancio di due dadi, considerate gli eventi:

    a: "La somma dei due punteggi è un numero minore di 5"
    b: "Il primo dado presenta 2"

Dopo aver rappresentato opportunamente l'universo, calcolate, anche in questo caso,
                 
                           p(a),  p(b),  p(a/b),  p(b/a),  p(aÙ b). 

5.  Verificate che, in tutti i casi suddetti, risulta

                                     

Possiamo affermare che tale uguaglianza vale in generale?

  6.  Rappresentazioni grafiche o applicazioni delle leggi

Vediamo un esempio riassuntivo che ci permette di confrontare alcune rappresentazioni grafiche con le leggi della probabilità che abbiamo discusso.

In un sacchetto ci sono 3 palline blu e 1 rossa, nell'altro 3 blu e 2 rosse; estraendo a caso una pallina da ciascuno dei due sacchetti, qual è la probabilità di ottenerla blu dal primo e rossa dal secondo? Qual è la probabilità di ottenere due palline di colore diverso?

Il diagramma cartesiano a sinistra mostra tutte le 20 possibilità di estrazione, delle quali solo le 6 evidenziate soddisfano alla prima richiesta; quindi la probabilità è 6/20.
Si può però ottenere il risultato anche dallo schema ad albero sulla destra, applicando la terza legge e moltiplicando quindi i valori delle due probabilità , 3/4 e 2/5, sui rami BR.

Per la seconda richiesta, si vede subito dal diagramma cartesiano che i casi favorevoli sono 9 (segnate tutti i punti corrispondenti) per cui la probabilità è 9/20.
Applicando, nel diagramma ad albero, la terza legge anche sui rami RB, 1/4 · 3/5 = 3/20 e poi la seconda legge per considerare entrambi i risultati, 6/20 + 3/20, si ottiene, ancora, 9/20.
Nello schema ad albero, dunque, le probabilità sui rami lungo il percorso vengono quindi moltiplicate fra loro, mentre i risultati ai terminali vengono semplicemente addizionati (essendo gli eventi incompatibili).