1.  La concezione classica

Consideriamo due dadi, uno rosso e l'altro verde: in un lancio, è più probabile ottenere, come somma dei punteggi, 6 oppure 7 ?

Un modo per rispondere precisamente alla domanda è considerare l'insieme di tutte le possibilità (universo), per esempio attraverso il seguente diagramma cartesiano:

Il punto P, ad esempio, rappresenta l'evento "ottenere 8 come somma dei punteggi ", 5 sul dado verde e 3 sul rosso.
Le possibilità sono quindi 36, cinque delle quali permettono il verificarsi dell'evento "ottenere somma 6", mentre sei di esse l'evento "ottenere somma 7".

Possiamo dunque ritenere , rispettivamente, 5/36   e 6/36 = 1/6  le probabilità che hanno i due eventi di verificarsi.
 

In uno studio di questo tipo è essenziale che tutte le possibilità siano equiprobabili, nel senso che una non abbia più ragione di presentarsi di un'altra.
Infatti, scegliendo come universo, anziché tutte le possibili coppie, tutte le possibili somme che possono presentarsi, vale a dire, l'insieme

                                             U = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

non sarebbe corretto dedurre che le probabilità di ottenere i punteggi-somma 6 e 7 risultano entrambe uguali a  1/11  (infatti il numero dei modi in cui si possono ottenere i suddetti risultati, come mostra il diagramma precedente, non è lo stesso: per il primo cinque modi, per il secondo sei).
Lo studio di questioni di questo tipo è iniziato nella prima metà del Seicento, nell'ambito dei diffusi giochi d'azzardo, con richieste di chiarimenti da parte di alcuni giocatori a Galileo, Fermat e Pascal.

Noi possiamo simulare l'esperimento del lancio dei due dadi progettando un semplice programma per il calcolatore.
Interpretate e traducete l'algoritmo seguente nel software a vostra disposizione, per verificare, tramite l'elaborazione al calcolatore, la migliore analisi teorica sull'uscita, per esempio, del punteggio-somma 7:

'duedadi

La frequenza relativa dei successi (ottenere il numero 7) si avvicina di più a 6/36 oppure a 1/11?

L'algoritmo può essere facilmente modificato per ottenere la frequenza relativa di un qualsiasi punteggio-somma.

Dunque, nella concezione classica, la probabilità di un evento é il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili (supposti ugualmente probabili).
Tale valore di probabilità permette una previsione sui risultati futuri.

2. La concezione frequentista (o statistica)
 

Non sempre è possibile applicare la concezione classica nello studio di un problema di probabilità.
Per esempio nel caso di un dado truccato, oppure, nel caso di un'assicurazione automobilistica, volendo stabilire il premio che l'assicurato deve pagare.

In questi casi solo molte prove ripetute o dati statistici su quanto accaduto in passato possono condurre a stimare la probabilità di un evento futuro; precisamente, sulla base di questa concezione, si assume come probabilità di un evento la frequenza relativa del suo verificarsi.

Così, se lanciando 2000 volte due dadi truccati otteniamo 500 volte il punteggio-somma 7 possiamo assumere uguale a 0.25 la probabilità che tale punteggio si presenti su quei dadi.
Con dadi non truccati possiamo aspettarci approssimativamente 330 volte l'uscita del punteggio in questione (6/36*2000).

3. La concezione soggettiva (o personale)

Non possiamo utilizzare le due precedenti concezioni in diversi casi, per esempio sull'esito dell'incontro fra due squadre di calcio: se però siamo disposti a scommettere, diciamo, 80 euro per riceverne 100 in caso di vittoria della nostra squadra (perdendo gli 80 euro se non vince) allora è come se assegnassimo una probabilità dell'80% alla vittoria della nostra squadra. Precisamente:

la probabilità di un evento è quello che una persona è disposta a scommettere (tra 0 e 1) per ricevere 1 in caso
di vincita.

Questa definizione permette di stabilire, secondo il caso, la misura di probabilità più adatta alla situazione, secondo la propria valutazione e può comprendere le due precedenti.

4. La prima legge

Nel lancio di una moneta, qual è la probabilità di ottenere testa? E di ottenere croce?
Quanto vale la somma delle due probabilità?

Nel lancio di un dado, qual è la probabilità di ottenere il numero 5? E quella di non ottenere tale numero?
Quanto vale la somma delle due probabilità?

In un mazzo di 52 carte qual è la probabilità di estrarre un re? E quella di non estrarre un re?
Quanto vale la somma delle due probabilità?

Indicando con a un dato evento, con la probabilità che esso si verifichi e con quella che non si verifichi, si intuisce che, in generale, vale l'uguaglianza: