1. Le leggi di De Morgan
 

Le due proposizioni composte

sono equivalenti.

Compilate le tavole di verità per verificare l'affermazione.

In altri termini, i due circuiti seguenti sono equivalenti, cioè producono gli stessi effetti sul LED:

Sono anche equivalenti le seguenti:

Costruite i circuiti corrispondenti.

2. La forma normale disgiuntiva

E' possibile costruire un circuito che fornisca i risultati che vogliamo.
Per esempio, supponiamo che ci interessi che il LED si accenda solo nei casi in cui entrambe le tensioni sono basse oppure sia bassa la tensione b.
La tavola di verità deve essere allora la seguente:

Fissiamo l'attenzione solo sulle righe in cui x è uguale a 1.
Operando una congiunzione tra le variabili  a e b in ciascuna di queste righe, negando però quelle che si presentano col valore 0, e poi una disgiunzione sui risultati delle diverse righe, otteniamo la proposizione x voluta:

Ed ecco il circuito corrispondente:

Pur determinando circuiti logicamente corretti, la forma normale disgiuntiva non tiene conto della convenienza nella costruzione: per questa entra in gioco anche una componente euristica che unendo intuizione e regole della logica permette di ridurre la complessità della progettazione al fine di una soluzione ottimale.

3.  Modus ponens

Il modus ponens (nome latino medievale) è una forma di ragionamento diretto descritto dalla seguente proposizione:

a e b rappresentano due qualsiasi proposizioni, che possono essere vere o false, la forma di ragionamento è comunque sempre corretta.
Questo significa che il modus ponens è una tautologia, vale a dire, una proposizione sempre vera, qualunque siano i valori di verità delle variabili a e b.
La sua tavola di verità deve fornire, quindi, nella colonna finale, tutti 1.
Verificate l'affermazione compilando la tavola seguente:

Ovviamente, la forma di ragionamento assume importanza se le premesse sono vere, perché, in tal caso, non può condurre a conclusioni false.
Per esempio, se è vero che "se si conosce l'inglese si viene assunti" e io "conosco l'inglese" allora "vengo assunto".

Il seguente circuito realizza la tavola di verità (il LED rimane sempre acceso):

4.  Modus tollens

Il modus tollens (nome latino medievale) è una forma di ragionamento indiretto descritto dalla seguente proposizione:

a e b rappresentano due qualsiasi proposizioni, che possono essere vere o false, la forma di ragionamento è comunque sempre corretta.
Questo significa che anche il modus tollens è una tautologia, vale a dire, una proposizione sempre vera, qualunque siano i valori di verità delle variabili a  e b.
Verificate l'affermazione compilando la tavola seguente:

Per esempio, considerato un numero naturale n, se    a: "n² è pari"    e     b: "n è pari",  allora, dimostrare   a→ b   è la stessa cosa che dimostrare  (dimostrazione per assurdo), perché, dal ragionamento indiretto
                                                                                     , 
valendo così la premessa dell'implicazione, da a segue proprio b.   
Come succede in questo caso, alcune volte è molto utile applicare questo tipo di ragionamento.

Costruite il circuito corrispondente.

 5. Condizione necessaria o sufficiente

Scrivendo  a → b , come si è detto, si intende che dalla premessa a segue la conclusione b.

Quando si dimostra un teorema si dice anche che  a è l'ipotesi e b la tesi.

In generale, l'implicazione di cui sopra significa che è sufficiente che si verifichi  a  affinché si verifichi b e che è necessario che si verifichi b per il verificarsi di a.

Per esempio, considerate le due proposizioni:
                  
                       a : "sono torinese"
                       b : "sono piemontese"

a → b  significa che è sufficiente essere torinese per essere piemontese (ma non necessario), mentre è necessario essere piemontese per essere torinese (ma non sufficiente).

In certi casi una condizione é necessaria e sufficiente insieme.
Per esempio, considerati due numeri  x, y affinché sia x > y è necessario e sufficiente che sia  x - y > 0.
In questo caso, se

                                   a: "x > y"
                                   b: "x - y > 0" 

utilizziamo la doppia freccia per indicare la C.N.S (condizione necessaria e sufficiente):

                                     

Entrambe le proposizioni devono essere quindi vere oppure false (risultano cioè equivalenti), da cui la tavola di verità:

e il circuito

che è la negazione di  XOR (O esclusivo).

6. Programmazione

Per verificare rapidamente se due proposizioni composte sono equivalenti possiamo utilizzare la TIV.
 

Poniamo true STO> v  e  false STO> f  , cioè memorizziamo i valori VERO e FALSO nelle due variabili v e f.
Poniamo poi 
                                     

              e           .

La tavola di verità della congiunzione si ottiene subito scrivendo  e poi ENTER:

                                    
           

Possiamo inoltre definire il SE (condizione sufficiente) o il SE E SOLO SE (condizione necessaria e sufficiente) nel modo seguente:

SE:                        not a or b STO> SE(a,b)

SE E SOLO SE:         SE(a,b) and SE(b,a) STO> SSE(a,b)
 

Per controllare la validità del modus ponens scriviamo allora:

D'altra parte, scrivendo  SE(p,q) and p (non usando le lettere già impegnate a e b) otteniamo subito q e p, come mostra la schermata seguente:

vale a dire, il software ci restituisce tutte le possibili affermazioni vere, tra cui l'aspettata variabile h, e ci permette dunque di fare semplici dimostrazioni.