Classi di resto

1. Pensando di raggruppare i numeri di N (naturali) in nove classi (o sottoinsiemi), cominciando con zero nella classe A, 1 nella B, ... , continuando il giro con 9 nella A, 10 nella B, ...e così via, in quale di esse andrà a finire il numero 1001?

Il più piccolo numero di ogni classe è il resto della divisione per nove.

Tutti i numeri della classe C sono rappresentabili nella forma  2 + k · 9 , dove k è un numero naturale; per esempio, per k = 12 si ottiene il numero 110.
Come possono essere rappresentati i numeri delle altre classi?

Un numero della classe B più un numero della classe D fornisce sempre un numero della classe E ?

Un numero della classe B per un numero della classe D fornisce sempre un numero della classe D ?

Che cosa si può dire per le somme o i prodotti delle varie classi?

Poiché un numero della classe B moltiplicato per uno della classe D, qualunque siano i numeri scelti, fornisce sempre come risultato un numero della classe D, si può scrivere che  B · D = D  e analogamente per le altre classi o per l'addizione.

Progettate un programma che, introdotto un qualsiasi numero naturale, ne stampi la classe di appartenenza.
Utilizzando tale programma decidete se si può ritenere valida la seguente congettura:

un numero sta nella stessa classe del numero ottenuto addizionandone le cifre (per esempio, 245 e 101 stanno nella stessa classe, 2)

Dimostrate o rifiutate la suddetta congettura.

Le nove classi di cui sopra si dicono anche classi di resto modulo 9.

La prova del 9 delle operazioni, che avete utilizzato probabilmente nella scuola elementare, ha come base teorica proprio le classi di resto in questione.
Infatti, supponendo di voler calcolare 237 · 765, scriviamo 181405, sbagliando una cifra.
Utilizzando le classi di resto modulo 9, invece di 237 prendiamo in considerazione il numero più piccolo della sua classe, 3, e, invece che 765, prendiamo 0: moltiplicando 3 per 0 otteniamo subito 0 e, come sappiamo, anche il risultato 181405, se è giusto, deve stare nella classe A dello 0; controllando (addizionandone le cifre) troviamo invece 1, per cui la nostra operazione è sbagliata.
Se avessimo scritto il risultato corretto, 181305, si sarebbe ottenuta la stessa classe 0.
E' da osservare, però, che anche scrivendo 183105 si sarebbe ottenuta la classe 0.
Dunque, se la prova ha successo non si ha la certezza della correttezza del risultato dell'operazione, ma se essa fallisce ...

2. Con lo stesso metodo, ma procedendo in senso inverso (-1 nella I, -2 nella H, ..), anche i numeri di Z (interi relativi) si possono distribuire nelle nove classi (o in un altro numero qualsiasi di classi).
In questo caso, per esempio, un numero della classe C è rappresentato ancora con la notazione 2 + k · 9 , ma k è questa volta un numero di Z.
Così, ad esempio, il numero -22 apparterrà alla classe F e sarà della forma  5 - 3 · 9, con k = 3.