Originariamente gli assiomi erano verità incontestabili, anche se non dimostrabili, poste alla base della matematica (per esempio, se a grandezze uguali si sottraggono grandezze uguali le differenze sono ancora uguali, oppure il tutto è maggiore di una parte, che, invece, come si vedrà in seguito, non è detto che sia sempre vero).
Ora gli assiomi sono affermazioni, anche non evidenti, sulle nozioni primitive, che si considerano vere senza dimostrazione; agli assiomi si richiede essenzialmente di non essere in contraddizione tra loro e di essere il minimo numero possibile.
Considerata nel piano un' isometria, vale a dire una corrispondenza biunivoca tra i punti e tra le rette per la quale si mantengono le incidenze, gli ordinamenti e segmenti ed angoli si trasformano in altri di uguale lunghezza o ampiezza, anche le affermazioni seguenti possono riguardarsi come assiomi:
1. Per ogni retta r vi è un'isometria involutoria ( trasformazione che coincide con la sua inversa) detta anche simmetria rispetto alla retta r, per la quale tutti i punti della retta r sono uniti (vengono trasformati in se stessi).
2. Per ogni punto P vi è un'isometria involutoria, detta anche simmetria rispetto al punto P, per cui tutte le rette passanti per P sono unite.
3. Se h è una semiretta uscente dal punto A, S un semipiano determinato da h e h' una semiretta uscente da A', S' un semipiano di h', allora vi è al più una isometria che trasforma A in A', h in h' e S in S'.
In tal caso il lavoro geometrico
può essere basato
sul concetto di riflessione (simmetria rispetto a una retta), precisamente
di simmetria ortogonale
piana o simmetria assiale: due punti A e A' si
corrispondono in una simmetria di asse la retta s, se s è
l'asse
del segmento AA'.
Una composizione (prodotto) di simmetrie determina un'isometria
e, viceversa, quest'ultima può riguardarsi come prodotto di
opportune
simmetrie assiali.